Παράγωγος της εφx (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 12. Εστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = \ef x.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{R_1=\rr-\{x|\syn x=0\}}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{ f'(x) =\dfrac{1}{\syn^2 x}}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(\ef x)'=\dfrac{1}{\syn^2 x}}$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Πράγματι, για κάθε $x\in R_1=\rr-\{x|\syn x=0\}$ έχουμε:

$\begin{align*} (\ef x)^{\prime}&=\left(\dfrac{\hm x}{\syn x}\right)^{\prime} \\ &= \dfrac{(\hm x)^{\prime} \syn x-\hm x(\syn x)^{\prime}}{\syn^2 x}\\ &= \dfrac{\syn x \cdot\syn x+\hm x\cdot \hm x}{\syn^2 x}\\ &=\dfrac{\syn^2 x+\hm^2 x}{\syn^2 x}\\ &=\dfrac{1}{\syn^2 x} \end{align*}$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…

Παράγωγος και συνέχεια συνάρτησης (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. (ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο Τότε . Για έχουμε Άρα η f είναι συνεχής στο

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης