Παράγωγος της εφx (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 12. Εστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = \ef x.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{R_1=\rr-\{x|\syn x=0\}}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{ f'(x) =\dfrac{1}{\syn^2 x}}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(\ef x)'=\dfrac{1}{\syn^2 x}}$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Πράγματι, για κάθε $x\in R_1=\rr-\{x|\syn x=0\}$ έχουμε:

$\begin{align*} (\ef x)^{\prime}&=\left(\dfrac{\hm x}{\syn x}\right)^{\prime} \\ &= \dfrac{(\hm x)^{\prime} \syn x-\hm x(\syn x)^{\prime}}{\syn^2 x}\\ &= \dfrac{\syn x \cdot\syn x+\hm x\cdot \hm x}{\syn^2 x}\\ &=\dfrac{\syn^2 x+\hm^2 x}{\syn^2 x}\\ &=\dfrac{1}{\syn^2 x} \end{align*}$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Παράγωγος της ln|x| (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 15. Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή (ΗΜ. 2008) Έστω η συνάρτηση Αν τότε Αν τότε οπότε, αν θέσουμε \begin{center} και \end{center} έχουμε y = lnu. Επομένως, Άρα,

Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , τότε (ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα και G είναι μια παράγουσα της f στο . Η…

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης