Παράγωγος και συνέχεια συνάρτησης (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $\textcolor{blue}{x_0, }$ τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

(ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018)

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $x_0.$ Τότε $\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)$ .

Για $x \neq x_0$ έχουμε

$\begin{align*} f(x)-f(x_0)&=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0), \qquad x\neq x_0\\ \Rightarrow\quad \lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) &= \lim\limits_{x\to x_0}\left(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\right)\\ \Rightarrow\quad\lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) &= \left(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right) \left(\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)\right)\\ \lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr)&=f'(x_0)\cdot 0=0.\\ \Rightarrow\quad \lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr)&=0\\ \Rightarrow\quad \lim\limits_{x\to x_0}f(x)&=f(x_0) \end{align*}$

Άρα η f είναι συνεχής στο $x_0.$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης