Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 
τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
(ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018)
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 
Τότε 
.
Για 
έχουμε
![\begin{align*} f(x)-f(x_0)&=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} (x-x_0)\Rightarrow \\ \orio{x}{x_0}{f(x)-f(x_0)}&=\orio{x}{x_0}{\left[\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\right]} \\ &=\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\cdot \orio{x}{x_0}{(x-x_0)} \\ &=f'(x_0)\cdot0\\ &=0 \Rightarrow \\ \orio{x}{x_0}{f(x)} &=f(x_0) \end{align*}](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c481d499c9f5ed534edb6c7603c42e0e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Άρα η f είναι συνεχής στο
Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
(ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018)
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο Τότε .
Για έχουμε
Άρα η f είναι συνεχής στο