Skip to content
MathsEdu.gr
MathsEdu.gr

Cogito, ergo sum

  • ΑΡΧΙΚΗ
  • Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
    • 7. ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
  • Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
    • Θεωρία Β Γυμνασίου
    • 0. ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
    • Α1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
    • Α2. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
    • Α3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
    • Β1. ΕΜΒΑΔΑ –ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
    • Β2. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
    • Β3. ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
  • Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
    • Θεωρία Γ Γυμνασίου
    • Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
    • Α2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
    • Α3. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
    • 4. ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
    • Β1. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
  • Α ΛΥΚΕΙΟΥ
    • 2. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
    • 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
    • ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ
  • Β ΛΥΚΕΙΟΥ
    • ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
  • Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
    • ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
  • Όροι χρήσης
MathsEdu.gr

Cogito, ergo sum

Παράγωγος και συνέχεια συνάρτησης (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο \textcolor{blue}{x_0, } τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

(ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018)


Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_0. Τότε \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0).

Για x \neq x_0 έχουμε

    \begin{align*} f(x)-f(x_0)&=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0), \qquad x\neq x_0\\ \Rightarrow\quad \lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) &= \lim\limits_{x\to x_0}\left(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\right)\\ \Rightarrow\quad\lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) &= \left(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right) \left(\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)\right)\\ \lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr)&=f'(x_0)\cdot 0=0.\\ \Rightarrow\quad \lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr)&=0\\ \Rightarrow\quad \lim\limits_{x\to x_0}f(x)&=f(x_0) \end{align*}

Άρα η f είναι συνεχής στο x_0.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Πλοήγηση άρθρων

Previous post
Next post

Related Posts

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 17.  Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει:     Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…

Read More

Παράγωγος της εφx (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 12. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο   και ισχύει δηλαδή     Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη. Πράγματι, για κάθε έχουμε:    

Read More

Παράγωγος της x^α, με α πραγματικό αριθμό (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 13. Εστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο  και ισχύει  δηλαδή     Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,    

Read More

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

#Ανισώσεις (1) #ΑνισώσειςΑΒαθμού (1) #ΚοινέςΛύσεις (1) #ΛύσηΑνισώσεων (1) #Μαθηματικά (1) #ΜαθηματικάΓυμνασίου (1) #ΜαθηματικάΛυκείου (1) #ΠραγματικοίΑριθμοί (1) #ΣύστημαΑνισώσεων (1)

©2026 MathsEdu.gr | WordPress Theme by SuperbThemes