Θεώρημα 13. Εστω η συνάρτηση 
. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 
και ισχύει 
δηλαδή
![\[\textcolor{blue}{\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1} }\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2e10c4a783b2b2bc2e6c642a5f67298_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Πράγματι, αν 
και θέσουμε 
τότε έχουμε 
Επομένως,
![\[y^{\prime}=\left(e^u\right)^{\prime}=e^u \cdot u^{\prime}=e^{a \ln x} \cdot \alpha \cdot \frac{1}{x}=x^a \cdot \frac{\alpha}{x}=\alpha x^{a-1} .\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43832c537b2e13758c13d5b269433787_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Θεώρημα 13. Εστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή
Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,