Παράγωγος της x^v (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = x^{\grn}, v \in \mathbf{N}-\{0,1\} }$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr }$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'(x) = \grn x^{\grn-1},}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{ (x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}}$

Έστω η συνάρτηση $f(x) = x^{\grn}, v \in \mathbf{N}-\{0,1\}$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $\rr,$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει:

$\begin{align*} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{x^{\grn}-x_0^{\grn}}{x-x_0}\\ &=\dfrac{(x-x_0)\left(x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\right)}{x-x_0}\\ &=x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}&=\orio{x}{x_0}{\left(x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\right)}\\ &=x_0^{\grn-1}+x_0^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\\ &=x_0^{\grn-1}+x_0^{\grn-1}+ \dots +x_0^{\grn-1}\\ &=\grn x_0^{\grn-1} \end{align*}$

δηλαδή $(x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης