Παράγωγος της x^v (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = x^{\grn}, v \in \mathbf{N}-\{0,1\} }$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr }$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'(x) = \grn x^{\grn-1},}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{ (x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}}$

Έστω η συνάρτηση $f(x) = x^{\grn}, v \in \mathbf{N}-\{0,1\}$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $\rr,$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει:

$\begin{align*} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{x^{\grn}-x_0^{\grn}}{x-x_0}\\ &=\dfrac{(x-x_0)\left(x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\right)}{x-x_0}\\ &=x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}&=\orio{x}{x_0}{\left(x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\right)}\\ &=x_0^{\grn-1}+x_0^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\\ &=x_0^{\grn-1}+x_0^{\grn-1}+ \dots +x_0^{\grn-1}\\ &=\grn x_0^{\grn-1} \end{align*}$

δηλαδή $(x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , τότε (ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα και G είναι μια παράγουσα της f στο . Η…

Μονοτονία και πρόσημο της παραγώγου

Posted on

Θεώρημα 18. Έστω συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Έστω με . Θα δείξουμε ότι . Πράγματι, η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Άρα υπάρχει τέτοιο ώστε Ισοδύναμα, Επειδή και προκύπτει ότι…

Συμμετρία δύο αντίστροφων συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και . Έστω μια συνάρτηση επομένως θα ορίζεται η αντίστροφη της. Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις και των και στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα). Έστω τυχαίο σημείο της γραφικής…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης