Θεώρημα 5. Εστω η σταθερή συνάρτηση 
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 
και ισχύει 
δηλαδή
![\[\textcolor{blue}{(c)'=0 }\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7f611f7b9e7cc9e2c177ebe516982e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Έστω η σταθερή συνάρτηση 
Πράγματι, αν 
είναι ένα σημείο του 
τότε για 
ισχύει:
![\[\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{c-c}{x-x_0}=0\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45b1e3a5de93c884fb4b0992ce2beb4c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επομένως,
![\[\Rightarrow \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\orio{x}{x_0}{0}\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72028549f5ba6b07258232ada3d76ce2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Rightarrow f'(x_0)=0\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bfb4c05dc903f9b8e8a7aab9c9ef802d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
δηλαδή 
Θεώρημα 5. Εστω η σταθερή συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή
Έστω η σταθερή συνάρτηση
Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει:
Επομένως,
δηλαδή