Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις $\textcolor{blue}{ f, g}$ είναι παραγωγίσιμες στο $\textcolor{blue}{ x_0,}$ τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f + g}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{x_0 }$ και ισχύει:

$\textcolor{blue}{(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)}$

(ΗΜ. 2023)

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $\rr,$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει:

$\begin{align*} \dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0}{x-x_0}\\ &= \dfrac{(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))}{x-x_0}\\ &= \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}}&= \orio{x}{x_0}{\left(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}\\ &= \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}+\orio{x}{x_0}{\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\ &=f'(x_0)+g'(x_0) \end{align*}$

δηλαδή

$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης