Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις $\textcolor{blue}{ f, g}$ είναι παραγωγίσιμες στο $\textcolor{blue}{ x_0,}$ τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f + g}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{x_0 }$ και ισχύει:

$\textcolor{blue}{(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)}$

(ΗΜ. 2023)

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $\rr,$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει:

$\begin{align*} \dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0}{x-x_0}\\ &= \dfrac{(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))}{x-x_0}\\ &= \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}}&= \orio{x}{x_0}{\left(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}\\ &= \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}+\orio{x}{x_0}{\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\ &=f'(x_0)+g'(x_0) \end{align*}$

δηλαδή

$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Συμμετρία δύο αντίστροφων συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και . Έστω μια συνάρτηση επομένως θα ορίζεται η αντίστροφη της. Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις και των και στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα). Έστω τυχαίο σημείο της γραφικής…

Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , τότε (ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα και G είναι μια παράγουσα της f στο . Η…

Παράγωγος της x^v (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης