Παράγωγος της τετραγωνικής ρίζας του x (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 8. Εστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = \sqrt{x}.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{ (0, +\infty)}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, }$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} }$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $(0,+\infty)$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει:

$\begin{align*} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}\\ &=\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &=\dfrac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}&=\orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}} \end{align*}$

δηλαδή $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Παρατήρηση: H $f(x)=\sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, ενώ ορίζεται στο $[0,+\infty]$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν…

Θεώρημα τοπικών ακροτήτων – τοπικό μέγιστο (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν στο και στο τότε να αποδείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της . (ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα…

Παράγωγος της x^v (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης