Παράγωγος της τετραγωνικής ρίζας του x (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 8. Εστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = \sqrt{x}.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{ (0, +\infty)}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, }$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} }$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $(0,+\infty)$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει:

$\begin{align*} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}\\ &=\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &=\dfrac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}&=\orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}} \end{align*}$

δηλαδή $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Παρατήρηση: H $f(x)=\sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, ενώ ορίζεται στο $[0,+\infty]$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Παράγωγος της x^(-ν), όπου ν φυσικός αριθμός (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 11. Έστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, για κάθε έχουμε : Είδαμε, όμως, σε προηγούμενη απόδειξη ότι για κάθε φυσικό Γενικότερα, αν τότε

Θεώρημα τοπικού ακροτάτου – Γνησίως αύξουσα (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 20. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Aν η διατηρεί πρόσημο στο τότε να αποδείξετε ότι το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο (ΗΜ. 2017, ΗΜ. 2021) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’…

Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης