Θεώρημα 11. Έστω η συνάρτηση 
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 
και ισχύει 
δηλαδή
![\[\textcolor{blue}{\left(x^{-\grn}\right)^{\prime}=-\grn x^{-\grn-1} }\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ed69baac6f9a96341ce12c7a61ef066_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Έστω η συνάρτηση 
Πράγματι, για κάθε 
έχουμε :
![\[\left(x^{-\grn}\right)^{\prime}=\left(\frac{1}{x^\grn}\right)^{\prime}=\frac{(1)^{\prime} x^\grn-1\left(x^\grn\right)^{\prime}}{\left(x^\grn\right)^2}=\frac{-\grn x^{\grn-1}}{x^{2 \grn}}=-\grn x^{-\grn-1} .\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32754a9ea2ba48c6db99ce4dda68ac35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Είδαμε, όμως, σε προηγούμενη απόδειξη ότι 
για κάθε φυσικό 
Γενικότερα, αν 
τότε
![\[\left(x^\kappa\right)^{\prime}=\kappa x^{\kappa-1}\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ef24a1cf0aba627730e7e1f1aec337b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")