Παράγωγος της x^(-ν), όπου ν φυσικός αριθμός (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 11. Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x)=x^{-\grn}, \grn \in \mathbf{N}^*.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\mathbf{R}^*}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{ f^{\prime}(\mathbf{x})=-\grn \mathbf{x}^{-\grn-1}}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{\left(x^{-\grn}\right)^{\prime}=-\grn x^{-\grn-1} }$

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^{-\grn}, \grn \in \mathbf{N}^*.$

Πράγματι, για κάθε $x\in \mathbf{R}^*$ έχουμε :

$\left(x^{-\grn}\right)^{\prime}=\left(\frac{1}{x^\grn}\right)^{\prime}=\frac{(1)^{\prime} x^\grn-1\left(x^\grn\right)^{\prime}}{\left(x^\grn\right)^2}=\frac{-\grn x^{\grn-1}}{x^{2 \grn}}=-\grn x^{-\grn-1} .$