Θεώρημα 6. Εστω η συνάρτηση 
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 
και ισχύει 
δηλαδή
![\[\textcolor{blue}{(x)'=1 }\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea2519462f10da0482badbe12d174823_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Έστω η συνάρτηση 
Πράγματι, αν 
είναι ένα σημείο του 
τότε για 
ισχύει:
![\[\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{x-x_0}{x-x_0}=1\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72659cedeee2f9c7b4166daae01161d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επομένως,
![\[\Rightarrow \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\orio{x}{x_0}{1}=1\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ad2bdbe3a6932d0703957ab20fd4e20c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Rightarrow f'(x_0)=1\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42d4ebb74e108ce4084d37603117e9a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
δηλαδή 
Θεώρημα 6. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή
Έστω η συνάρτηση
Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει:
Επομένως,
δηλαδή