Θεώρημα τοπικού ακροτάτου – Γνησίως αύξουσα (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 20. Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f}$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{ (\alpha,\beta),}$

με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\textcolor{blue}{x_0, }$

στο οποίο όμως η $\textcolor{blue}{f }$ είναι συνεχής.

Aν η $\textcolor{blue}{f(x) }$ διατηρεί πρόσημο στο $\textcolor{blue}{(\alpha, x_0) \cup (x_0, \beta), }$ τότε να αποδείξετε ότι το $\textcolor{blue}{ f(x_0)}$ δεν είναι τοπικό ακρότατο και η $\textcolor{blue}{ f}$ είναι γνησίως μονότονη στο $\textcolor{blue}{(\alpha, \beta). }$

(ΗΜ. 2017, ΗΜ. 2021)

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $(\alpha,\beta),$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0,$

στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής,

η οποία διατηρεί πρόσημο στο $(\alpha, x_0) \cup (x_0, \beta)$ .

Έστω ότι

$f'(x) > 0,$ για κάθε $(\alpha, x_0) \cup (x_0, \beta)$ .

Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ θα είναι γνησίως αύξουσα

σε κάθε ένα από τα διαστήματα $(\alpha, x_0]$ και $[x_0, \beta).$

Επομένως, για

$x_1 < x_0 < x_2$ ισχύει $f(x_1) < f(x_0) < f(x_2).$

Άρα το $f(x_0)$ δεν είναι τοπικό ακρότατο της $f.$

Θα δείξουμε, τώρα, ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha,\beta).$

Πράγματι, έστω $x_1 , x_2 \in (\alpha,\beta)$ με $x_1 < x_2.$

Αν $x_1 , x_2 \in (\alpha, x_0],$ επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha, x_0],$ θα ισχύει $f(x_1) < f(x_2)$ .
Αν $x_1 , x_2 \in [x_0, \beta),$ επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[x_0, \beta),$ θα ισχύει $f(x_1) < f(x_2).$
Τέλος, αν $x_1 < x_0 < x_2,$ τότε όπως είδαμε $f(x_1) < f(x_0) < f(x_2).$

Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει $f(x_1) < f(x_2),$ οπότε

η f είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha,\beta).$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Παράγωγος της τετραγωνικής ρίζας του x (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 8. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Παρατήρηση: H δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, ενώ ορίζεται στο

Συμμετρία δύο αντίστροφων συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και . Έστω μια συνάρτηση επομένως θα ορίζεται η αντίστροφη της. Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις και των και στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα). Έστω τυχαίο σημείο της γραφικής…

Παράγωγος της x^α, με α πραγματικό αριθμό (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 13. Εστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης