Θεώρημα τοπικού ακροτάτου - Γνησίως αύξουσα (απόδειξη)

Θεώρημα 20. Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f}$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{ (\alpha,\beta),}$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\textcolor{blue}{x_0, }$ στο οποίο όμως η $\textcolor{blue}{f }$ είναι συνεχής.

Aν η $\textcolor{blue}{f(x) }$ διατηρεί πρόσημο στο $\textcolor{blue}{(\alpha, x_0) \cup (x_0, \beta), }$ τότε να αποδείξετε ότι το $\textcolor{blue}{ f(x_0)}$ δεν είναι τοπικό ακρότατο και η $\textcolor{blue}{ f}$ είναι γνησίως μονότονη στο $\textcolor{blue}{(\alpha, \beta). }$

(ΗΜ. 2017, ΗΜ. 2021)

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $(\alpha,\beta),$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0,$ στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής, η οποία διατηρεί πρόσημο στο $(\alpha, x_0) \cup (x_0, \beta)$ .

Έστω ότι

$f'(x) > 0,$ για κάθε $(\alpha, x_0) \cup (x_0, \beta)$ .

Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα $(\alpha, x_0]$ και $[x_0, \beta).$

Επομένως, για $x_1 < x_0 < x_2$ ισχύει $f(x_1) < f(x_0) < f(x_2).$

Άρα $f(x_0)$ το δεν είναι τοπικό ακρότατο της $f.$

Θα δείξουμε, τώρα, ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha,\beta).$

Πράγματι, έστω $x_1 , x_2 \in (\alpha,\beta)$ με $x_1 < x_2.$

Αν $x_1 , x_2 \in (\alpha, x_0],$ επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha, x_0],$ θα ισχύει $f(x_1) < f(x_2)$ .
Αν $x_1 , x_2 \in [x_0, \beta),$ επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[x_0, \beta),$ θα ισχύει $f(x_1) < f(x_2).$
Τέλος, αν $x_1 < x_0 < x_2,$ τότε όπως είδαμε $f(x_1) < f(x_0) < f(x_2).$