Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{ [\alpha,\beta]}$ . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο $\textcolor{blue}{[\alpha,\beta] }$ , τότε

$\textcolor{blue}{\int_a^\beta f(t) d t=G(\beta)-G(\alpha) }$

(ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013)

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα $[\alpha,\beta]$ και G είναι μια παράγουσα της f στο $[\alpha,\beta]$ .

Η συνάρτηση

$F(x)=\int_\alpha^x f(t) d t$

είναι μια παράγουσα της f στο $[\alpha,\beta]$ .

Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο $[\alpha,\beta]$ , θα υπάρχει $c \in \mathbf{R}$ τέτοιο ώστε,

$\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c} \quad (1)$

Από την (1), για x = α , έχουμε $G(\alpha)=F(\alpha)+c=\int_\alpha^a f(t) d t+c=c$ οπότε $c=G(\alpha)$

Επομένως,

$\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{G}(\alpha)$

οπότε, για x = β , έχουμε

$G(\beta)=F(\beta)+G(\alpha)=\int_\alpha^\beta f(t) d t+G(\alpha)$

και άρα

$\int_a^\beta f(t) d t=G(\beta)-G(\alpha)$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης