Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{ [\alpha,\beta]}$ . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο $\textcolor{blue}{[\alpha,\beta] }$ , τότε

$\textcolor{blue}{\int_a^\beta f(t) d t=G(\beta)-G(\alpha) }$

(ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013)

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα $[\alpha,\beta]$ και G είναι μια παράγουσα της f στο $[\alpha,\beta]$ .

Η συνάρτηση

$F(x)=\int_\alpha^x f(t) d t$

είναι μια παράγουσα της f στο $[\alpha,\beta]$ .

Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο $[\alpha,\beta]$ , θα υπάρχει $c \in \mathbf{R}$ τέτοιο ώστε,

$\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c} \quad (1)$

Από την (1), για x = α , έχουμε $G(\alpha)=F(\alpha)+c=\int_\alpha^a f(t) d t+c=c$ οπότε $c=G(\alpha)$

Επομένως,

$\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{G}(\alpha)$

οπότε, για x = β , έχουμε

$G(\beta)=F(\beta)+G(\alpha)=\int_\alpha^\beta f(t) d t+G(\alpha)$

και άρα

$\int_a^\beta f(t) d t=G(\beta)-G(\alpha)$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Παράγωγος της x^α, με α πραγματικό αριθμό (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 13. Εστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,

Παράγωγος της ln|x| (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 15. Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή (ΗΜ. 2008) Έστω η συνάρτηση Αν τότε Αν τότε οπότε, αν θέσουμε \begin{center} και \end{center} έχουμε y = lnu. Επομένως, Άρα,

Θεώρημα τοπικού ακροτάτου – Γνησίως αύξουσα (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 20. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Aν η διατηρεί πρόσημο στο τότε να αποδείξετε ότι το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο (ΗΜ. 2017, ΗΜ. 2021) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης