Γινόμενο ριζών εξίσωσης 2ου βαθμού (απόδειξη)

Posted on

Απόδειξη 7. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού $\textcolor{blue}{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0, \alpha \neq 0 }$ και $\textcolor{blue}{x_1, x_2 }$ ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το γινόμενο των ριζών P ισχύει η σχέση

$\textcolor{blue}{P=x _1\cdot x _2=\dfrac{\gamma}{\alpha}}$

Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0, \alpha \neq 0$ με $x_1, x_2$ ρίζες της εξίσωσης.

Αν με P συμβολίσουμε το γινόμενο $x_1 \cdot x_2$ έχουμε:

$\begin{align*} P &= x _1\cdot x _2 \\ &=\dfrac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha}\cdot \dfrac{-\beta-\sqrt{\Delta}}{2 \alpha}\\ &=\dfrac{\left(-\beta+\sqrt{\Delta}\right)\cdot \left(-\beta -\sqrt{\Delta}\right)}{\left(2 \alpha\2\right)^2}\\ &=\dfrac{\left(-\beta\right)^2- \left(\sqrt{\Delta}\right)^2 }{4\alpha^2}\\ &=\dfrac{\beta^2 -\left(\beta^2-4\alpha\gamma\right)}{4\alpha^2}\\ &=\dfrac{\beta^2-\beta^2+4\alpha\gamma}{4\alpha^2}\\ &=\dfrac{4\alpha\gamma}{4\alpha^2}\\ &=\dfrac{\gamma}{\alpha} \end{align*}$

δηλαδή δείξαμε ότι

$P =\dfrac{\gamma}{\alpha}$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης