Σημειώσεις Θεωρίας Πως ορίζεται η δύναμη πραγματικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο; Αν α πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός, έχουμε ορίσει ότι: Επιπλέον, ισχύει ότι Στην περίπτωση που έχουμε: και Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο; Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με…
2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους – Αξιοσημείωτες Ταυτότητες (Θεωρία)
Σημειώσεις Θεωρίας Ποιες είναι οι πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες; Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. Οι πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι: Ποιες είναι οι βασικότερες μέθοδοι απόδειξης; Οι μέθοδοι απόδειξης είναι η εξής: Ευθεία απόδειξη Ξεκινάμε με την υπόθεση (η…
2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους – Πραγματικοί αριθμοί (Θεωρία)
Σημειώσεις Θεωρίας Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν (ή μπορούν να πάρουν) κλασματική μορφή, δηλαδή τη μορφή , όπου α, β ακέραιοι, με . Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός…
1.1 Γραμμικό σύστημα 2 x 2 (Θεωρία)
Σημειώσεις Θεωρίας Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x, y, τις και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών (x, y) που είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων, τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y. Ένα γραμμικό σύστημα…
1.1 Η εξίσωση αx + βy = γ (Θεωρία)
Σημειώσεις Θεωρίας Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους και τι ονομάζουμε λύση της; Κάθε εξίσωση της μορφής: λέγεται γραμμική εξίσωση. Αν ή τότε η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή. Λύση της εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ζεύγος πραγματικών που την επαληθεύει. Απόδειξη Να δείξετε ότι η γραμμική εξίσωση …
εφω=ημω/συνω – Απόδειξη
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ω ορίζονται και με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Αν σ’ ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy πάρουμε το σημείο M(x, y) και ορίσουμε ρ την απόσταση του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων ισχύει…
Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα – Απόδειξη
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ω ορίζονται και με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Αν σ’ ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy πάρουμε το σημείο M(x, y) και ορίσουμε ρ την απόσταση του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων ισχύει…
Κλίση της ευθείας y=αx
Math How-To Guide Άσκηση. Ποια από τις παρακάτω ευθείες έχει κλίση ; α) β) γ) δ) ε) Όλες οι παραπάνω εξισώσεις είναι της μορφής , επομένως η κλίση τους ειναι α. Θέλουμε η κλίση να είναι δηλαδή . Επομένως, η ευθεία θα πρέπει να έχει εξίσωση (απάντηση δ) Σημειώσεις…
Έλεγχος αν μια ευθεία διέρχεται από σημείο (μέρος Α)
Math How-To Guide Εφαρμογή 1. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α (−1, 4) και Β(2, -1) είναι σημεία της ευθείας (ε) με εξίσωση . Σημειώσεις Θεωρίας Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την…
Προβλήματα από τον πραγματικό κόσμο & γραμμικές εξισώσεις
Math How-To Guide Ένας γεωργός έχει στην φάρμα του κότες και πρόβατα. Όλα τα ζώα είναι 22 ενώ τα πόδια τους συνολικά είναι 60. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα πρόβατα; Λύση Θα λύσουμε το πρόβλημα με τις κότες και τα πρόβατα με τη βοήθεια των… Μαθηματικών! Στο πρόβλημα έχουμε δύο…