Math How-To Guide Εφαρμογή 1. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α (−1, 4)  και Β(2, -1)  είναι σημεία της ευθείας (ε)  με εξίσωση .    Σημειώσεις Θεωρίας Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την…

Math How-To Guide Ένας γεωργός έχει στην φάρμα του κότες και πρόβατα.  Όλα τα ζώα είναι 22 ενώ τα πόδια τους συνολικά είναι 60. Πόσες είναι οι κότες  και πόσα τα πρόβατα;  Λύση Θα λύσουμε το πρόβλημα με τις κότες και τα πρόβατα με τη βοήθεια των… Μαθηματικών! Στο πρόβλημα έχουμε δύο…

Math How-To Guide Δίνονται οι ευθείες και Η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο με τετμημένη 4, ενώ η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη -2. α)  Να βρείτε τους αριθμούς και  β)  Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών και Λύση Γνωρίζουμε ότι όλα τα σημεία του…

Απόδειξη 9. Να αποδείξετε ότι ο νιοστός  όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο  και διαφορά είναι     . Αν σε μια αριθμητική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά της  τότε ο αναδρομικός της τύπος     μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε…

Απόδειξη 7. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού  και  ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το γινόμενο των ριζών P ισχύει η σχέση     Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού με  ρίζες της εξίσωσης. Αν με P συμβολίσουμε το γινόμενο έχουμε:     δηλαδή δείξαμε ότι    

Απόδειξη 6. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού  και  ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το άθροισμα των ριζών S ισχύει η σχέση     Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού με  ρίζες της εξίσωσης. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα έχουμε:     δηλαδή δείξαμε ότι .

Απόδειξη 5. Nα αποδείξετε ότι για κάθε με και , ισχύει     Έστω με και . Τότε     που ισχύει.

Απόδειξη 4. Nα αποδείξετε ότι για κάθε    με ,  ισχύει     Έστω με .     που ισχύει. Παρατήρηση Η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για περισσότερους από δυο μη αρνητικούς παράγοντες. Συγκεκριμένα, για μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει:    

Απόδειξη 3. Nα αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει     Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι θετικοί αριθμοί έχουμε:     που ισχύει. Παρατήρηση Είναι φανερό ότι η ισότητα     ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι…

Απόδειξη 2. Nα αποδείξετε ότι για κάθε  και   ισχύει     Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας ειναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε:     που ισχύει.