Math How-To Guide Εφαρμογή 1. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α (−1, 4) και Β(2, -1) είναι σημεία της ευθείας (ε) με εξίσωση . Σημειώσεις Θεωρίας Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την…
Προβλήματα από τον πραγματικό κόσμο & γραμμικές εξισώσεις
Math How-To Guide Ένας γεωργός έχει στην φάρμα του κότες και πρόβατα. Όλα τα ζώα είναι 22 ενώ τα πόδια τους συνολικά είναι 60. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα πρόβατα; Λύση Θα λύσουμε το πρόβλημα με τις κότες και τα πρόβατα με τη βοήθεια των… Μαθηματικών! Στο πρόβλημα έχουμε δύο…
Σημείο τομής δύο ευθειών
Math How-To Guide Δίνονται οι ευθείες και Η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο με τετμημένη 4, ενώ η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη -2. α) Να βρείτε τους αριθμούς και β) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών και Λύση Γνωρίζουμε ότι όλα τα σημεία του…
Nιοστός όρος αριθμητικής πρόοδου (απόδειξη)
Απόδειξη 9. Να αποδείξετε ότι ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά είναι . Αν σε μια αριθμητική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά της τότε ο αναδρομικός της τύπος μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε…
Γινόμενο ριζών εξίσωσης 2ου βαθμού (απόδειξη)
Απόδειξη 7. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού και ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το γινόμενο των ριζών P ισχύει η σχέση Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες της εξίσωσης. Αν με P συμβολίσουμε το γινόμενο έχουμε: δηλαδή δείξαμε ότι
Άθροισμα ριζών εξίσωσης 2ου βαθμού (απόδειξη)
Απόδειξη 6. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού και ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το άθροισμα των ριζών S ισχύει η σχέση Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες της εξίσωσης. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα έχουμε: δηλαδή δείξαμε ότι .
Νιοστή ρίζα του πηλίκου δύο αριθμών (Απόδειξη)
Απόδειξη 5. Nα αποδείξετε ότι για κάθε με και , ισχύει Έστω με και . Τότε που ισχύει.
Νιοστή ρίζα του γινόμενου δύο αριθμών (απόδειξη)
Απόδειξη 4. Nα αποδείξετε ότι για κάθε με , ισχύει Έστω με . που ισχύει. Παρατήρηση Η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για περισσότερους από δυο μη αρνητικούς παράγοντες. Συγκεκριμένα, για μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει:
Aπόλυτη τιμή του αθροίσματος δυο αριθμών (απόδειξη)
Απόδειξη 3. Nα αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μη αρνητικοί αριθμοί έχουμε: που ισχύει. Παρατήρηση Είναι φανερό ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι…
Απόλυτη τιμή του πηλίκου δύο αριθμών (απόδειξη)
Απόδειξη 2. Nα αποδείξετε ότι για κάθε και ισχύει Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας ειναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε: που ισχύει.