Απόδειξη 1. Nα αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη. Απόδειξη 2. Nα αποδείξετε ότι για κάθε και ισχύει Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη. Απόδειξη 3. Nα αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει Κάνε κλικ…
Ευθεία διέρχεται από σημείο (εύρεση παραμέτρου, μέρος Α)
Math How-To Guide Άσκηση. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(-3,-6). Λύση H εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα είναι της μορφής Η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(-3,-6), άρα οι συντεταγμένες…
Πίνακες τιμών & ανάλογα ποσά
Math How-To Guide Άσκηση. Δίνονται οι παρακάτω πίνακες που περιέχουν τιμές των ποσών x και y. Να ελέγξετε αν τα ποσά είναι ανάλογα και, αν ναι, να βρείτε τη μαθηματική σχέση που τα συνδέει. Πίνακας τιμών Α Γνωρίζουμε ότι δυο ποσά είναι ανάλογα όταν ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους…
Πως σχεδιάζουμε μια ευθεία της μορφής y=αx
Math How-To Guide Να σχεδιάσετε τις ευθείες και στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων. Η ευθεία είναι της μορφής y=αx, άρα διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Για να προσδιορίσουμε ένα ακόμη σημείο, δίνουμε στο x μια τιμή εκτός του μηδενός. Για έχουμε ή ή O πίνακας τιμών της συνάρτησης…
Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος (μέθοδος αντίθετων συντελεστών)
Σημειώσεις Θεωρίας Για να επιλύσουμε ένα σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών εργαζόμαστε ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη κάθε εξίσωσης με κατάλληλο αριθμό, ώστε να εμφανιστούν αντίθετοι συντελεστές σ ´έναν από τους δύο αγνώστους προκειμένου να τον απαλείψουμε. Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν…
Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος (μέθοδος αντικατάστασης)
Σημειώσεις Θεωρίας Για να επιλύσουμε ένα σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης εργαζόμαστε ως εξής: Λύνουμε μία από τις εξισώσεις του συστήματος ως προς έναν άγνωστο. Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση του συστήματος τον άγνωστο αυτόν με την ίση παράστασή του, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και λύνουμε….
Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού (απόδειξη)
Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , τότε (ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα και G είναι μια παράγουσα της f στο . Η…
Θεώρημα αρχικής συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 21. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής είναι παράγουσες της f στο Δ. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή . (ΗΜ. 2010, ΗΜ….
Θεώρημα τοπικού ακροτάτου – Γνησίως αύξουσα (απόδειξη)
Θεώρημα 20. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Aν η διατηρεί πρόσημο στο τότε να αποδείξετε ότι το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο (ΗΜ. 2017, ΗΜ. 2021) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’…
Θεώρημα τοπικών ακροτήτων – τοπικό μέγιστο (απόδειξη)
Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν στο και στο τότε να αποδείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της . (ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα…