Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν στο και στο τότε να αποδείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της . (ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα…
Θεώρημα Fermat (απόδειξη)
Θεώρημα 18. (Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι: (ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα…
Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)
Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…
Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)
Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν…
Παράγωγος της ln|x| (απόδειξη)
Θεώρημα 15. Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή (ΗΜ. 2008) Έστω η συνάρτηση Αν τότε Αν τότε οπότε, αν θέσουμε \begin{center} και \end{center} έχουμε y = lnu. Επομένως, Άρα,
Παράγωγος της α^x (απόδειξη)
Θεώρημα 14. Έστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,
Παράγωγος της x^α, με α πραγματικό αριθμό (απόδειξη)
Θεώρημα 13. Εστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,
Παράγωγος της εφx (απόδειξη)
Θεώρημα 12. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη. Πράγματι, για κάθε έχουμε:
Παράγωγος της x^(-ν), όπου ν φυσικός αριθμός (απόδειξη)
Θεώρημα 11. Έστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, για κάθε έχουμε : Είδαμε, όμως, σε προηγούμενη απόδειξη ότι για κάθε φυσικό Γενικότερα, αν τότε
Παράγωγος της c*f, όπου c σταθερά (απόδειξη)
Θεώρημα 10. Αν η συναρτήση είναι παραγωγίσιμη, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: Εστω συναρτήση παραγωγίσιμη. Ισχύει: