Θεώρημα 11. Έστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, για κάθε έχουμε : Είδαμε, όμως, σε προηγούμενη απόδειξη ότι για κάθε φυσικό Γενικότερα, αν τότε
Παράγωγος της c*f, όπου c σταθερά (απόδειξη)
Θεώρημα 10. Αν η συναρτήση είναι παραγωγίσιμη, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: Εστω συναρτήση παραγωγίσιμη. Ισχύει:
Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)
Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…
Παράγωγος της τετραγωνικής ρίζας του x (απόδειξη)
Θεώρημα 8. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Παρατήρηση: H δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, ενώ ορίζεται στο
Παράγωγος της x^v (απόδειξη)
Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή
Παράγωγος ταυτοτικής συνάρτησης
Θεώρημα 6. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή
Παράγωγος σταθερής συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 5. Εστω η σταθερή συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η σταθερή συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή
Παράγωγος και συνέχεια συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. (ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο Τότε . Για έχουμε Άρα η f είναι συνεχής στο
Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)
Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν: η f είναι συνεχής στο και τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος ώστε . (ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020) Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση με…
Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 2. Έστω το πολυώνυμο και Nα αποδείξετε ότι Έστω το πολυώνυμο και Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων έχουμε: