Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…
Παράγωγος της τετραγωνικής ρίζας του x (απόδειξη)
Θεώρημα 8. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Παρατήρηση: H δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, ενώ ορίζεται στο
Παράγωγος της x^v (απόδειξη)
Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή
Παράγωγος ταυτοτικής συνάρτησης
Θεώρημα 6. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή
Παράγωγος σταθερής συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 5. Εστω η σταθερή συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η σταθερή συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή
Παράγωγος και συνέχεια συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. (ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο Τότε . Για έχουμε Άρα η f είναι συνεχής στο
Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)
Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν: η f είναι συνεχής στο και τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος ώστε . (ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020) Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση με…
Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 2. Έστω το πολυώνυμο και Nα αποδείξετε ότι Έστω το πολυώνυμο και Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων έχουμε:
Συμμετρία δύο αντίστροφων συναρτήσεων (απόδειξη)
Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και . Έστω μια συνάρτηση επομένως θα ορίζεται η αντίστροφη της. Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις και των και στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα). Έστω τυχαίο σημείο της γραφικής…
Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους (Αόριστο σύστημα)
Math How-To Guide Να επιλυθεί γραφικά το σύστημα Θα πρέπει να σχεδιάσουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες και Ευθεία : Για να τη σχεδιάσουμε θα πρέπει να προσδιορίσουμε δύο σημεία της. Για έχουμε ή ή ή , άρα η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(0, -6). Για έχουμε ή…